The Method of Risk Measurement in Case of Stochastic Definition of Net Present Value

Abstract

The Net Present Value (NPV) rule is a base of modern finance theory. The classical definition of NPV is based on unrealistic assumptions: it treats the discount rate as a deterministic and constant function. The above fact may lead to some situations when the classical NPV may mark the wrong direction of investing. Moreover, the deterministic formula makes the measurement of risk impossible - we can not estimate the probability of obtaining any values of NPV. In this paper we consider a stochastic, general definition of Net Present Value. We propose the method of measurement of risk in case of using the stochastic definition. The risk is identified with probability, that stochastic process NPV(t), starting from a negative and real point B(0) (initial investment), will not leave the interval (-∞,0) before end of the project (T). Presented considerations lead to Pontriagin's differential equation and its solution is the mentioned probability.

Metoda Aktualnej Wartości Netto (NPV) jest filarem nowoczesnej teorii finansów. Klasyczna definicja NPV opiera się na nierealistycznych założeniach: zakłada chociażby stały czasie i deterministyczny charakter stopy dyskontowej. Prowadzi to do sytuacji, w których jej stosowanie wyznacza błędne kierunki inwestowania. Ponadto jej deterministyczna formuła nie rozwala mierzyć ryzyka lub też inaczej - szansy uzyskania konkretnej wartości NPV. W niniejszej pracy rozważać będziemy stochastyczną, ogólną definicję Aktualnej Wartości Netto. Zaproponowana będzie pewna metoda pomiaru ryzyka w przypadku stosowania tej definicji. Ryzyko utożsamione zostanie z prawdopodobieństwem, że stochastyczny proces NPV(t), startując z pewnego ujemnego, rzeczywistego punktu B(0) (nakład inicjujący projekt) co końca czasu trwania projektu (T), nie wydostanie się z przedziału (-∞, 0). Rozważania nad rym prawdopodobieństwem doprowadzą do równania różniczkowego Pontriagina, którego rozwiązaniem będzie wspomniane prawdopodobieństwo.