Estimation of Population Averages on the Basis of a Vector of Cluster Means

Abstract

The estimation of a vector of mean values is being considered. The vector estimator consists of simple cluster sample means. It is assumod that a population of a fixed size is divided into mutually disjoint clusters each of the same size. The variance-covariance matrix of the vector estimator is derived. It is a function of a homogeneity matrix of multidimensional variable which describes within-cluster spread of the multidimensional variable under research. The accuracy of estimation is measured by means of standard deviations of particular sample cluster means as well as by means of the trace or the determinant or the maximal eigenvalue of the variance-covariance matrix of the vector estimator. The accuracy of the vector of simple sample cluster means is compared with the accuracy of the vector of the simple sample means. The accuracy of the vector of simple sample cluster means increases when the degree of within-cluster spread of the distribution of a multidimensional variable increases. Hence, the population should be divided into such clusters that the within-cluster spread is as large as possible.

Zakłada się, że skończona i ustalona populacja jest podzielona na równoliczne i rozłączne grupy. Na podstawie prostej próby grupowej jest wyznaczany wektor średnich, który daje oceny wektora przeciętnych w populacji. Wyprowadzono macierz wariancji i kowariancji wektora wartości średnich z próby grupowej. Jest ona zależna od macierzy wewnątrzgrupowej jednorodności rozkładu wielowymiarowej zmiennej. Precyzja estymacji jest oceniana za pomocą wariancji poszczególnych średnich z próby grupowej, śladu, wyznacznika lub maksymalnej wartości własnej macierzy wariancji i kowariancji. Precyzja wektora średnich z próby grupowej jest porównywana z precyzją wektora średniej z próby prostej. Okazuje się, że wektor średnich z próby grupowej jest precyzyjniejszy od wektora przeciętnych z próby prostej, gdy stopień wewnątrzgrupowego zróżnicowania wartości zmiennych jest dostatecznie duży.