Zastosowanie modeli zmienności stochastycznej typu Ornsteina-Uhlenbecka w analizie finansowych szeregów czasowych

Abstract

Głównym celem rozprawy jest przedstawienie niegaussowskich modeli stochastycznej zmienności typu Ornsteina-Uhlenbecka oraz opracowanie i zastosowanie metod opartych na filtrach Kalmana i filtrach cząsteczkowych do estymacji wariancji aktualnej i parametrów tych modeli. Prace składa się z czterech rozdziałów. W pierwszym rozdziale przedstawione zostały definicje i własności rozważanych w pracy procesów stochastycznych, głównie procesów Lévy’ego oraz Ornsteina-Uhlenbecka. Rozdział drugi poświęcony został modelom stochastycznej zmienności opartym na niegaussowskich procesach Ornsteina-Uhlenbecka. Omówiono szczegółowo własności podstawowego modelu, a następnie przedstawiono rozszerzenia tego modelu pozwalające na uchwycenie zależności długookresowych w procesie zmienności oraz korelacji pomiędzy procesem obserwacji i procesem zmienności, co pozwala na modelowanie efektu dźwigni. Zaprezentowano również powiązania modelu z estymatorami wariancji zrealizowanej. W rozdziale trzecim omówiono zagadanie estymacji niegaussowskich modeli stochastycznej zmienności typu Ornsteina-Uhlenbecka. Punktem wyjścia, a zarazem także odniesienia są filtry Kalmana i estymacja metodą quasi-największej wiarygodności. Przedstawiono liniowe modele przestrzeni stanów, które pozwalają zastosować filtr Kalmana do estymacji wariancji aktualnej oraz metodę quasi-największej wiarygodności do estymacji parametrów zarówno w przypadku, gdy zmienna pomiaru są zwroty logarytmiczne jak i wariancja zrealizowana. Następnie przedstawiono estymację procesu zmienności aktualnej za pomocą filtrów cząsteczkowych i estymacji parametrów niegaussowskich modeli stochastycznej zmienności przy użyciu metody iterowanej filtracji. Czwarty rozdział pracy przedstawia przykłady modelowania zmienności na podstawie szeregów czasowych pochodzących z polskiego rynku finansowego. Przedstawiono wyniki estymacji zmienności i parametrów niegaussowskich modeli stochastycznej zmienności typu Ornsteina-Uhlenbecka dla trzech szeregów czasowych pochodzących z polskiego rynku finansowego: notowań Warszawskiego Indeksu Giełdowego (WIG), indeksu dwudziestu największych spółek akcyjnych notowanych na warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych (WIG20) oraz kursu USD/PLN.