Metoda numeryczna dla ɛ-optymalnej aproksymacji zahamowania wzrostu guza nowotworowego przy zastosowaniu leczenia GM-CSF

Abstract

W pracy konstruujemy metodę obliczeniowa dla ɛ-optymalnej aproksymacji zahamowania wzrostu guza nowotworowego przy zastosowaniu leczenia GMCSF. Przede wszystkim formułujemy i rozwiązujemy układ równań różniczkowych cząstkowych, z których każde opisuje jeden z biologicznych elementów: żywe oraz martwe komórki nowotworowe, makrofagi, komórki śródbłonka, cytokiny: M-CSF, MCP-1/CCL2, GM-CSF, VEGF, sVEGFR-1, stężenie tlenu oraz prędkość zmiany brzegu guza. Funkcje te zdefiniowane są na jednym lub dwóch obszarach: (t), D\(t), gdzie obszar (t) o brzegu Γ1 = Ω(t), znajdujący się w obszarze D, o brzegu Γ2 = ∂D, reprezentuje guz, natomiast obszar D\(t) reprezentuje zdrowe komórki wokół guza. Tylko cztery pierwsze równania modelu zdefiniowane są w całości na jednym obszarze - obszarze guza, pozostałe osiem zawiera funkcje zdefiniowane w obu obszarach o wspólnym brzegu. Wszystkie te równania zawierają nieliniowe składniki, a także pochodne cząstkowe pierwszego, drugiego, a nawet trzeciego rzędu. Należy także pamiętać, że wspólny brzeg łączący oba obszary podlega modyfikacjom w czasie. Aby rozwiązać tak skomplikowany układ równań tworzymy własną metodę aproksymacji rozważanego problemu opisanego trzynastoma równaniami wykorzystująca metodę elementów skończonych zaimplementowana w pakiecie FreeFem++. Ze względu na poziom skomplikowania układu nie jest wystarczające zastosowanie dostępnych we FreeFem’ie++ gotowych schematów postepowania, konieczne jest stworzenie własnego algorytmu obliczeniowego. Szczególnej uwagi wymaga zapis nieliniowości funkcji, pochodnych wyższych rzędów, a przede wszystkim sposób budowy nowego brzegu w każdym kolejnym krokach czasowych. Otrzymane przez nas wyniki obliczeń numerycznych poddajemy weryfikacji poprzez wprowadzenie ɛ- optymalnych warunków wystarczających, zbudowanych w oparciu o teorie dualnego programowania dynamicznego. W oparciu o te teorie tworzymy algorytm, który pozwala nam po pierwsze wybrać rozwiązanie spełniające zadanie optymalizacji, a po drugie ocenić jakość otrzymanych wyników. Efektem naszych obliczeń jest pozytywna weryfikacja tezy rozprawy, czyli potwierdzenie, ż e możliwe jest obliczenie ɛ −optymalnego dawkowania leku GMCSF, skutkującego zahamowaniem wzrostu guza nowotworowego.