Uogólnione modele Coxa-Rossa-Rubinsteina wyceny opcji z parametrami zmieniającymi się w czasie i ich formuły graniczne

Abstract

Rozprawa doktorska poświęcona jest uogólnionym modelom Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR), wyznaczaniu formuły na wycenę opcji w zaprezentowanych modelach oraz zbieżności tych formuł do formuł typu Blacka-Scholesa. Zaprezentowano uogólniony model CRR, w którym założono dodatnią średnią zmianę logarytmu ceny akcji po n chwilach handlowania akcjami. Otrzymano wówczas nowe formuły na możliwe górne i dolne zmiany cen akcji niespełniające klasycznego warunku modelu CRR. Rozważono przejście graniczne (przy bardzo dużej liczbie chwil handlowania akcjami) uogólnionej formuły CRR do analogu formuły Blacka-Scholesa. Następnie przedstawiono model typu CRR ze zmieniającymi się parametrami w czasie dla długich jednostek czasu (np. miesięcy). W każdej z tych jednostek czasu przyjęto różne stopy procentowe rachunku bankowego (kredytu, obligacji) oraz współczynniki zmienności cen akcji (volatility). Ponadto, korzystając z udowodnionej jednostajnej zbieżności ze względu na początkową cenę akcji klasycznej formuły CRR do formuły Blacka-Scholesa oraz oszacowanego tempa zbieżności uogólnionej formuły CRR do formuły typu Blacka-Scholesa, wyprowadzono elementarnymi metodami (bez analizy stochastycznej) wzór typu Blacka-Scholesa na graniczną wycenę opcji dla przedstawionego uogólnionego modelu Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR) z parametrami zmieniającymi sie w czasie. Jednocześnie, udowodniona zbieżność rozważanych formuł dyskretnych typu CRR stanowi teoretyczne uzasadnienie możliwych przybliżeń numerycznych ceny opcji.