Wykorzystanie metod analitycznych do wyznaczania wielowymiarowych alfa-stabilnych rozkładów prawdopodobieństwa

Abstract

In this paper we study the relationship between multivariate a-stable probability distributions and their spectral measure. Analytical method based on nonabelian harmonic analysis is used to express the spectral measure using spherical harmonics on the sphere.

Alfa-stabilne rozkłady prawdopodobieństwa, będące uogólnieniem rozkładów normalnych, mają ważną cechę, nie posiadają skończonej wariancji, która utrudnia stosowanie klasycznego formalizmu matematyczno-statystycznego do wyznaczania w sposób jawny ich funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Miara zależności korelacyjnych nie może być w takim przypadku opisana za pomocą macierzy wariancji - kowariancji, która zostaje uogólniona przez pewną miarę probabilistyczną na sferze. Miara taka nazywana jest miarą spektralną. W przypadku wielowymiarowych rozkładów я-stabilnych fundamentalnym zagadnieniem jest ustalenie relacji pomiędzy miarą spektralną a odpowiadającą jej funkcją gęstości prawdopodobieństwa. W prezentowanym artykule zastosowano metody nieabelowej analizy harmonicznej do określenia miary spektralnej poprzez zastosowanie sferycznych szeregów Fouriera.