Bayesian Pricing of an European Call Option Using a GARCH Model with Asymmetries

Abstract

In this paper option pricing is treated as an application of Bayesian predictive analysis. The distribution of the discounted payoff, induced by the predictive density of future observables, is the basis for direct option pricing, as in Bauwens and Lubrano (1997). We also consider another, more eclectic approach to option pricing, where the predictive distribution of the Black-Scholes value is used (with volatility measured by the conditional standard deviation at time of maturity). We use a model framework that allows for two types of asymmetry in GARCH processes: skewed t conditional densities and different reactions of conditional scale to positive/negative stocks. Our skewed t-GARCH(l, 1) model is used to describe daily changes of the Warsaw Stock Exchange Index (WIG) from 4.01.1995 till 8.02.2002. The data till 28.09.2001 are used to obtain the posterior and predictive distributions, and to illustrate Bayesian option pricing for the remaining period.

W prezentowanym artykule wycena opcji jest traktowana jako jedno z zastosowań bayesowskiej analizy predyktywnej. Rozkład wartości zdyskontowanej wypłaty, indukowany przez gęstość predyktywną przyszłych stóp zwrotu, jest podstawą bezpośredniej wyceny opcji (zob. Bauwens, Lubrano, 1997). Rozważamy też bardziej eklektyczne podejście, wykorzystujące rozkład predyktywny formuły Blacka i Scholesa (ze zmiennością określoną jako warunkowe odchylenie standardowe w momencie realizacji opcji). Przyjmujemy ramy modelowe, które uwzględniają dwa rodzaje asymetrii w procesach GARCH: skośne rozkłady warunkowe (typu t-Studenta) oraz zróżnicowane reakcje wariancji warunkowej na szoki dodatnie lub ujemne. Model: skośny £-GARCH(l, 1) jest stosowany do opisu dziennej zmienności Warszawskiego Indeksu Giełdowego (WIG) od 4.01.1995 r. do 8.02.2002 r. Dane do 28.09.2001 wykorzystujemy do budowy rozkładów a posteriori i predyktywnego oraz do ilustracji bayesowskiej wyceny opcji na pozostały okres.