Proof systems for some many-valued and modal logics

Abstract

Celem tej pracy jest zbadanie systemów dowodowych dla różnych logik modalnych, wielowartościowych i ich kombinacji. Rozważamy dwa rodzaje systemów dowodowych: rachunki sekwentowe (i ich uogólnienia: rachunki hipersekwentowe oraz zagnieżdżone) i systemy dedukcji naturalnej. Rachunki sekwentowe są znane jako dobre narzędzie teoretyczne do badań nad dowodami; wyraźnie reprezentują strukturę dowodów i pozwalają na rozróżnienie między regułami logicznymi i strukturalnymi w celu odróżnienia właściwości spójników logicznych i właściwości relacji konsekwencji. Zaletą systemów dedukcji naturalnej jest ich podobieństwo do procesu naturalnego ludzkiego rozumowania. Do głównych twierdzeń teorii dowodu należą: twierdzenie dopuszczalności cięcia oraz twierdzenie o normalizacji dowodu i ich konsekwencja: własność podformuły. Logiki modalne i wielowartościowe należą do najpopularniejszych i najwybitniejszych przedstawicieli logik nieklasycznych, a modalne logiki wielowartościowe, w tym ich algebraiczne uogólnienia, modalne logiki wielokratowe, są mostem między tymi dwoma klasami logic. W obrębie rozprawy staramy się zapewnić dla dowolnej rozważanej logiki zarówno rachunek sekwentowy (lub raczej, hypersekwentowy lub zagnieżdżony) i system dedukcji naturalnej. Udowadniamy, że twierdzenie o dopuszczalności cięcia zachodzi dla wszystkich rozważanych rachunków sekwentowych, stosując dwie metody: semantyczną (jako konsekwencję twierdzenia o pełności udowodnionego z pomocą argumentu w stylu Hintikki) i konstruktywną syntaktyczną. Twierdzenie o normalizacji dowodu zostanie udowodnione metodą konstrukcyjną. W konsekwencji ustalamy właściwość podformuł. W wielu przypadkach opracowanie tych teoretyczno-dowodowych rezultatów wymaga to wprowadzenia znaczących zmian do standardowych metod.

The aim of this thesis is to explore proof systems for various modal, many-valued, and modal many-valued logics. We consider two kinds of proof systems: sequent calculi (and their generalisations: hypersequent and nested sequent calculi) and natural deduction systems. Sequent calculi are known to be a good theoretical tool for the investigation of proofs; they visually and clearly represent the structure of the proofs and allow the distinction between logical and structural rules to distinguish the properties of the logical connectives and the properties of the consequence relation. The advantage of natural deduction systems is their similarity to the process of natural human reasoning. Among the central theorems of proof theory are the cut admissibility and the normalisation theorems and their consequence: the subformula property. Modal and many-valued logics are among the most popular and remarkable representatives of non-classical logics and modal many-valued logics, including their algebraic generalisation, modal multilattice logics, are the bridge between these two fields. During our investigation, we provide for any logic in question both a sequent calculus and a natural deduction system. We prove the cut admissibility theorem for all the sequent calculi in question by two methods: a semantic one (as a consequence of a completeness theorem proven by a Hintikka-style argument) and a syntactic constructive one. The normalisation theorem is proved by the syntactic constructive method. Finally, we establish the subformula property. In many cases, the development of these proof-theoretic results requires significant changes in the standard methods.